Kalkulus
Kalkulus (Bahasa
Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk
menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang
mencakup limit,turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu yang
mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang
mempelajari bentuk dan aljabar yang
mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus
memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat
memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar
elementer.[1]
Kalkulus memiliki dua
cabang utama, kalkulus
diferensial dan kalkulus integral yang
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Contoh cabang kalkulus yang
lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan
kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus
mempelajari fungsi danlimit, yang secara
umum dinamakan analisis matematika.
Prinsip-prinsip
dasar
Limit dan kecil tak terhingga
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit
Definisi limit: kita
katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk
setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian
rupanya:
Kalkulus pada umumnya
dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek
ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah
bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar
daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ...
dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga
(infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak
terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang
ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.[18]
Pada abad ke-19,
konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya
ia digantikan oleh konsep limit.
Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil
dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan
teknik memanipulasi limit-limit tertentu.[18]Secara
cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang
terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu
sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x
mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap
bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap x:
Turunan
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan
Grafik
fungsi turunan.
Turunan
dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut
terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut
sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.[1]
Secara
matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada
titik x adalah:
,
dengan
syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan
bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di
setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = z - x,
dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x,
maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Garis
singgung pada (x, f(x)). Turunanf'(x)
sebuah kurva pada sebuah titik adalahkemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik
tersebut.
Perhatikan
bahwa ekspresi pada
definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik
(x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita
mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan
kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal
ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan,
demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi
tersebut.[1]
Sebagai
contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi pada titik
(3,9):
Ilmu
yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari
sebuah grafik disebut kalkulus
diferensial
Garis
singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x)
di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva
pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari
kemiringan garis sekan.
Notasi pendiferensialan
Terdapat
berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan,
meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi
Newton, dan notasi Euler.[1]
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried
Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal
digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y =
ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan
variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:[15]
ataupun
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang
paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis
sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas
fungsi untuk menandakan turunan. Apabilay = ƒ(t),
maka mewakili
turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara
eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini
sering terlihat dalam bidang fisika dan
bidang matematika yang berhubungan denganfisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang
diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan
pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x)
adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan
pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x.
Notasi Euler kemudian ditulis
sebagai:
atau .
Notasi
Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Notasi Leibniz
|
Notasi Lagrange
|
Notasi Newton
|
Notasi Euler
|
|
Turunan ƒ(x) terhadap x
|
|
ƒ′(x)
|
dengan y = ƒ(x) |
|
Integral]
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral
Integral
dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurvaƒ(x),
antara dua titik a dan b.
Integral
merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas
wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu
fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi
menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika
yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S
yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti
penjumlahan).[1]
Diberikan
suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan
interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara
informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada
notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas
atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒadalah
integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b],
dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring
dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval
yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di
bawah kurva.
Terdapat
berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling
umumnya digunakan adalah definisiintegral
Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari
"penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah
yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b].
Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita
bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita
memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn
- 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:[19]
Himpunan tersebut
kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b]
menjadi sejumlah n subinterval .
Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita
nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita
nyatakan sebagai Δxi = xi - xi -
1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan
pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti.
Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang
lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai
menyentuh titik (ti, ƒ(ti))
pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan
mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan
menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan Sp disebut
sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan
bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan
Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan.
Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati
nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.[19]
Secara
cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann
adalah:
Diberikan ƒ(x)
sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b].
Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di
sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann apabila
kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah
bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk
setiap partisi di
sepanjang [a,b] dengan dan
pilihan ti apapun pada [xk -
1, ti], kita dapatkan
Secara
matematis dapat ditulis:
Apabila
tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama,
maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat
pula ditulis sebagai:
Limit
ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval
yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.[19]
Contoh
Sebagai
contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu , yakni
mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada
interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral
tertentu sebagai
limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan
partisi ataupun titik ti secara sembarang akan
menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol.
Apabila kita memilih partisi Pmembagi-bagi interval [0,b]
menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan
titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri
setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan ,
sehingga:
Seiring
dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati
0, maka didapatkan:
Dalam
prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral
tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema
dasar kalkulus (lihat
bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari
nilai integral tertentu.[1]
Manakala
integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval
tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral
tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat
mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.[1]
Apabila
Keseluruhan
himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral
tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap
x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x)
+ C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah
konstanta sembarang.
Misalkan
terdapat sebuah fungsi , maka integral
tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan
bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu
dalam bentuk adalah
sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah
sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
Teorema dasar
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral
adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini
menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih
mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral
tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung
integral tertentu.[1]
Teorema
dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah
fungsi f adalah kontinu pada
interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang
mana turunannya adalah f pada interval (a,b),
maka
Lebih lanjut, untuk
setiap x di interval (a,b),
Sebagai
contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada
menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat
bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam
menghitung nilai integral tersebut.
Anti
derivatif dari fungsi adalah .
Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral
tertentu adalah:
Apabila
kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b],
b>0, maka kita akan dapatkan:
Perhatikan
bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini
adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral
tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema
dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
SUMBER : KLIK DISINI
Tidak ada komentar:
Posting Komentar